A façanha de Gauss

O resultado do 1º Desafio de Jack Urina homenageia Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss, nascido na Alemanha em 30 de abril de 1777, é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. A história mais conhecida de sua genialidade ocorreu durante sua infância, se passou numa sala de aula, quando tinha por volta dos 10 anos de idade.
O professor Büttner, que era muito exigente, tinha o costume de ocupar a turma com longos exercícios de cálculos. A tarefa proposta num certo dia era um pouco penosa, os alunos deveriam somar todos os números inteiros de 01 a 100, incluindo o 01 e o 100. Então os alunos puseram-se a calcular: 01 + 02 + 03.....98 + 99 + 100.
Nem bem o mestre terminara de propor a tarefa, Gauss entregou a sua resposta. Enquanto isso os outros alunos se demoravam em seus cálculos. Büttner olhou-o com desdém, afinal não era pra "chutar" ou adivinhar e sim calcular.
Finalmente, após receber todas as respostas dos alunos, verificou que o único resultado correto era o de Gauss.
O professor então, aceitou com humildade a evidência da genialidade do garoto e pediu para que explicasse a façanha.

Gauss enxergou o cálculo de uma outra forma, uma vez que o cérebro tenha formas de interpretar problemas, Gauss mostrou que para chegar ao resultado dispôs o cálculo dessa forma:

Ele agrupou os cem números em duplas: o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o antepenúltimo e assim por diante.

01 + 100 = 101
02 +  99 = 101
03 +  98 = 101
04 +  97 = 101...

Percebeu que a soma de cada dupla era sempre 101. Com 100 números formam-se 50 duplas. Logo, para obter o resultado bastou multiplicar 50 por 101.

Resultado final do 1º Desafio de Jack Urina é: 5.050

Biografia de Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss era filho de camponeses pobres, mas encontrou apoio de sua mãe e de seu tio para estudar, apesar das objeções paternas. É um dos casos mais espantosos de precocidade registrados na história da matemática, contando-se que já aos três anos de idade era capaz de efetuar algumas operações aritméticas.
Aos dez anos, Gauss iniciou seus estudos de aritmética, espantando ao seu mestre, Buttner, pela facilidade com que completava complicadas operações. Buttner tinha, nessa época, um jovem assistente, de 17 anos, Johann Martin Bartels, apaixonado pela matemática, a quem entregou a tarefa de ensinar ao precoce Gauss. Entre os dois moços firmou-se sólida amizade, que durou até a morte de Bartels.
Tendo amigos influentes, Bartels fez com que Gauss se tornasse conhecido do duque de Braunschweig, Carl Wilhelm Ferdinand, que o protegeu até sua morte, garantindo recursos para que continuasse a estudar e tivesse meios de subsistência.
Em 1792, Gauss ingressou no Collegium Carolinum, onde permaneceu por três anos, estudando as obras mais notáveis de Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange e Isaac Newton. É nesse período que Gauss principia suas investigações sobre aritmética superior, que o tornariam imortal e lhe dariam o título de "príncipe da matemática".
Gauss deixou o Collegium Carolinum em outubro de 1795, para entrar na Universidade de Göttingen. Em 1796 define suas preferências definitivamente, decidindo dedicar-se à matemática. No dia 30 de março desse ano, Gauss começa a redigir um diário científico, anotando as suas descobertas. Esse diário só foi divulgado 43 anos após a morte de Gauss, quando, para isso, a Sociedade Real de Göttingen obteve a permissão do neto de Gauss. O diário contém 146 anotações, breves exposições dos descobrimentos feitos pelo seu autor no período de 1796 a 1814.
Os três anos passados em Göttingen foram dos mais prolíficos de sua vida. As ideias que vinha recolhendo desde os 17 anos, foram, nessa época, ordenadas e esmiuçadas, resultando, em 1798, as Indagações Aritméticas, por muitos considerada a obra-prima de Gauss.
Uma segunda fase da vida de Gauss tem início no primeiro dia do século 19. Giuseppe Piazzi, astrônomo italiano, descobriu um pequeno planeta, Ceres, o primeiro de vários planetas menores hoje conhecidos. A observação do corpo celeste era extremamente difícil, e calcular sua órbita, partindo dos poucos dados obtidos, uma tarefa digna de um gênio. Gauss investigou a órbita, vendo todos os seus cálculos confirmados.
Gauss casou-se, pela primeira vez, em 1805, quando seu protetor, o duque de Braunschweig, aumentou sua pensão. Nesse mesmo ano, porém, o duque faleceu e o matemático precisou encontrar um meio de manter a família. A sua fama já se espalhara pela Europa e Gauss recebeu convite para ocupar o posto que fora de Euler, em São Petersburgo, mas acabou aceitando a direção do Observatório de Göttingen.
Os anos de 1811 e 1812 foram os melhores de sua vida, desfrutando Gauss de certa tranquilidade. Logo após seu segundo matrimônio, foi observado o cometa de 1811 e Gauss teve a satisfação de constatar que o astro seguia exatamente a trajetória por ele calculada.
No período de 1821 a 1848, Gauss foi conselheiro científico dos governos de Hannover e da Dinamarca, completando minuciosos estudos de geodésia, que o levaram a examinar, em toda a sua generalidade, problemas relativos às superfícies curvas e a questão da representação conforme.
Gauss faleceu lúcido e cônscio da importância de seus trabalhos, aos 78 anos de idade.

Principais trabalhos de Gauss
Investigando uma questão aparentemente simples - quantos dígitos tem o período de uma decimal periódica? -, Gauss descobre a lei da reciprocidade quadrática e introduz a terminologia das congruências.

Aos 18 anos inventa o método dos mínimos quadrados, indispensável para as medições geodésicas. A Lei de Gauss, relativa à distribuição dos erros, e sua curva normal (em forma de sino) são amplamente conhecidas de todos os que estudam estatística.

Algumas anotações de seu diário mostram que ele descobriu a dupla periodicidade de certas funções elípticas. E outra anotação comprova que ele já havia considerado essa periodicidade no caso geral. Esses descobrimentos, contudo, não chegaram a ser divulgados, não se sabe por qual motivo.

Em 1812, Gauss publica seus estudos sobre as séries hipergeométricas. O interesse de tais séries está em que englobam, como casos particulares, muitas das séries mais notáveis da análise (entre as quais as que permitem cálculo e construção de tabelas de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais).

Gauss também abriu novos rumos com a invenção de um tipo novo de números, os inteiros complexos gaussianos, da forma a+bi, em que "a" e "b" são inteiros racionais e "i" a unidade imaginária.

Gauss possuía, ainda, grande habilidade manual. Inventou o heliótropo; aperfeiçoou alguns instrumentos de observação, utilizados na astronomia; inventou o magnetômetro bifilar; e descobriu o telégrafo elétrico.

Gauss está ao lado de Arquimedes e Newton como um dos três gênios da matemática de todos os tempos.


Fonte: Enciclopédia Mirador Internacional, tirada do site Uol